ГЛАВА VIII

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ

Математика

Перевод градусной меры в радианную
Длина дуг окружности радиуса 1 (единица).

Таблица 28
Угол	Дуга	Угол	Дуга
1"	0,000005	8"	0,000039
2	0,000010	9	0,000044
3	0,000015	10	0,000048
4	0,000019	20	0,000097
5	0,000024	30	0,000145
6	0,000029	40	0,000194
7	0,000034	50	0,000242
1'	0,000291	6°	0,104720
2	0,000582	7	0,122173
3	0,000873	8	0,139626
4	0,001164	9	0,157080
5	0,001454	10	0,174533
6	0,001745	20	0,349066
7	0,002036	30	0,523599
8	0,002327	40	0,698132
9	0,002618	50	0,872665
10	0,002909	60	1,047198
20	0,005818	70	1,221730
30	0,008727	80	1,396263
40	0,011636	90	1,570796
50	0,014544	100	1,745329
1°	0,017453	150	2,617994
2	0,034907	200	3,490659
3	0,052360	250	4,363323
4	0,069813	300	5,235988
5	0,087266	360	6,283185

Дуга, равная радиусу, составляет 57°17'44",8 (т. е. один радиан).
Формулы перехода от одного измерения к другому:
a° = 180*a_рад / p;
a_рад = p*a° / 180°.

Алгебра

Формулы сокращенного умножения многочленов

1. (a + b)² = a² + 2*a*b + b² — квадрат суммы двух величин.
2. (a - b)² = a² - 2*a*b + b² — квадрат разности двух величин.
3. (a + b)*(a - b) = a² - b² — произведение суммы и разности двух величин.
4. (a + b)³ = a³ + 3*a²*b+ 3*a*b² + b³ — куб суммы двух величин.
5. (a - b)³ = a³ - 3*a²*b+ 3*a*b² - b³ — куб разности двух величин.
6. (a + b)*(a² - a*b + b²) = a³ + b³ — произведение суммы двух величин на “неполный квадрат разности”.
7. (a - b)*(a² + a*b + b²) = a³ - b³ — произведение разности двух величин на “неполный квадрат суммы”.
8. (a + b)ⁿ = aⁿ + n*a^n-1*b + n*(n - 1)*a^n-2*b² / (1*2) + n*(n-1)*(n-2)*a^n-3*b³ / (1*2*3) + ... + bⁿ.

Формулы для действия со степенями

1. (a*b*c...)ⁿ = aⁿ*bⁿ*cⁿ...
2. (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ.
3. aⁿ*a^m = a^n+m.
4. a^m / aⁿ = a^m-n.
5. (aⁿ)^m = a^n*m.

Решение квадратного уравнения
Полное приведенное квадратное уравнение:
x² + p*x + q = 0;

.

Неприведенное полное квадратное уравнение:
a*x² + b*x + c = 0;

.

или

.

Последнюю формулу удобнее употреблять при четном числе b.
Свойства корней квадратного уравнения:
x₁ + x₂ = b / a = -p; x₁*x₂ = c / a = q.

Геометрия

Треугольник. Сумма двух сторон треугольника (рис. 51) всегда больше третьей
b + с > а.
Сумма углов треугольника
a + b + g = 180°.

Рис.51	Рис.52

Медианой треугольника (рис. 52) называется прямая, соединяющая вершину с серединой противолежащей ей стороны треугольника.
Биссектрисой треугольника называется прямая, делящая его внутренний угол пополам. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую сторону.
Два треугольника подобны при наличии одного из следующих условий:
1) три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого;
2) два угла одного треугольника равны двум углам другого;
3) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а заключенные между ними углы равны.
Площадь треугольника
S = 0,5*b*h_b = 0,5*a*b*sin g = 0,5*r*(a + b + c) = a*b*c / (4*R) = .
где r — радиус вписанной окружности;
R — радиус описанной окружности;
p = (a + b + c) / 2.
Площадь параллелограмма (рис. 53)
S = a*h
Ромб (рис. 54)

Рис.53	Рис.54

d₁ = 2*a*cos (a / 2); d₂ = 2*a*sin (a / 2);
d₁² + d₂² = 4*a².
S = a*h = a²*sin a = 0,5*d₁*d₂.
Четырехугольник (рис. 55)
a² + b² + c² + d² = d₁² + d₂² + 4*m²,
где m — отрезок, соединяющий середины диагоналей;
S = 0,5*d₁*d₂*sin a.

Рис.55	Рис.56

Трапеция (рис. 56)
m = 0,5*(а + b),
S = 0,5*(а + b)*h = m*h.
Трапеция равнобочна, если d = с. В этом случае
S = ( a - c*cos g )*c*sin g = ( b + c*cos g )*c*sin g.
Окружность

• C = 2*p*r » 6,283*r;
• ;
• C = p*d » 3,142*d;
• S = p*r² » 3,142*r²;
• S = p*d² / 4 » 0,785*d²;
• S = C*d / 4 » 0,25*C*d;
• r = C / 2*p » 0,159*C;
• ,

где r—радиус; d — диаметр; C — длина окружности.

Тригонометрия

Рис.57	Рис.58

Тригонометрические функции угла a (рис. 57 и 58) определяются при помощи тригонометрического круга (радиус R = 1), а также из прямоугольного треугольника (для острых углов):

• sin a (синус) = BC = a / c;
• cos a (косинус) = OB = b / c;
• tg a (тангенс) = AD = a / b;
• ctg a (котангенс) = EF = b / a;
• sec a (секанс) = OD = c / b;
• cosec (косеканс) = OF = c / a.

Функциям приписывается определенный знак в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга лежит подвижный радиус OC (см. табл. 29).

Таблица 29
Четверть	Величина угла	sin	cos	tg	ctg	sec	cosec
I	от 0° до 90°	+	+	+	+	+	+
II	от 90° до 180°	+	-	-	-	-	+
III	от 180° до 270°	-	-	+	+	-	-
IV	от 270° до 360°	-	+	-	-	+	-

Пределы изменения:
sin и cos от -1 до +1 и ctg от -  до + ;
sec и cosec от -  до -1 и от +1 до + .< /p>

Таблица 30. Значения функций для некоторых углов.

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

0

1/6p

1/4p

1/3p

1/2p

2/3p

3/4p

5/6p

p

11/6p

11/4p

11/3p

11/2p

12/3p

13/4p

15/6p

2p

sin

0

1/2

1

1/2

0

-1/2

-1

-1/2

0

sin

cos

1

1/2

0

-1/2

-1

-1/2

0

1/2

1

cos

tg

0

1

-1

0

1

-1

0

tg

сtg

1

0

-1

1

0

-1

сtg

Если угол отрицательный, то функция приводится к функции, положительного угла по формулам:

• sin (- a) = - sin a;
• cos ( - a) = cos a.
• tg (- a) = - tg a;
• ctg (- a) = - ctg a.

Формулы приведения
Функция	Данный угол
	90 ± a	180 ± a	270 ± a	360 - a
sin	+ cos a	± sin a	- cos a	- sin a
cos	± sin a	- cos a	± sin a	+ cos a
tg	± ctg a	± tg a	± ctg a	- tg a
ctg	± tg a	± ctg a	± tg a	- ctg a

Основные формулы тригонометрии
Функции одного угла:
sin² a + cos² a = 1; sin a / cos a = tg a; sin a * cosec a = 1;
sec² a - tg² a = 1; cos a / sin a = ctg a; cos a * sec a =1;
cosec² a - ctg² a = 1; tg a * ctg a = 1.
Выражение одной функции через другую (того же угла):

;

;

;

.

Функции суммы и разности двух углов:
sin (a ± b) = sin a*cos b ± cos a*sin b;
cos (a ± b) = cos a*cos b  sin a*sin b;
tg (a ± b) = (tg a ± tg b) / (1  tg a*tg b);
ctg (a ± b) = (ctg a*ctg b  1) / (ctg b ± ctg a).
Функции кратных углов:
sin 2a = 2*sin a*cos a;
cos 2a = cos² a - sin² a;
tg 2a = 2*tg a / (1 - tg² a);
ctg 2a = (ctg² a - 1) / 2*ctg a;
sin 3a = 3*sin a - 4*sin³ a;
cos 3a = 4*cos³ a - 3*cos a;
sin 4a = 8*cos³ a * sin a - 4*cosa * sin a;
cos 4a = 8*cos⁴ a - 8* cos² a + 1.
Функции половинного угла:

;

;

;

.

Решение треугольников
Прямоугольный треугольник: a, b — катеты, c—гипотенуза, A, B — углы против сторон a и b.
Основные соотношения:
a = c * sin A = c * cos B;
a = b * tg A = b * ctg B.

Дано	Формулы для нахождения остальных элементов
c, A	B = 90° - A	a = c * sin A	b = c * cos A
a, A	B = 90° - A	b = a * ctg A	c = a / sin A
a, c	sin A = a / c	b = c * cos A	B = 90° - A
a, b	tg A = a / b	c = a / sin A	B = 90° - A

Косоугольный треугольник: a, b, c — стороны, А, В, С — противолежащие им углы, S — площадь, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности, p — полупериметр.
P = 0,5*(a + b + c).
1) Основные соотношения:
теорема синусов:
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2*R;
теорема косинусов:
a² = b² + c² - 2*b*c*cos A;
теорема тангенсов:
(a + b) / (a - b) = tg 0,5(A + B) / tg 0,5(A - B);
площадь треугольника:
S = 0,5*a*b*sin C = 2*R²*sin A*sin B*sin C = r*p =.

= .

2) Дополнительные соотношения:
tg A = a*sin B / (c - a*cos B);

;

;

.

Дано	Нахождение остальных элементов
Сторона и два угла (a, A, B)	C = 180° - A - B; b = a*sin B / sin A; c = a*sin C / sin A; S = 0,5*a*b*sin C
Две стороны и угол между ними (a, b, C)	(A+ B) / 2 = 90° - C / 2; tg 0,5(A - B) = (a-b)*ctg 0,5C / (a+b); c = a*sin C / sin A; S = 0,5*a*b*sin C
Две стороны и угол против одной из них (a, b, A)	sin B = b*sin A / a; C = 180° - (A + B); c = a*sin C / sin A; S = 0,5*a*b*sin C
Три стороны (a, b, c)	r = ; tg A / 2 = r / (p - a); tg B / 2 = r / (p - b); tg C / 2 = r / (p - c); S = r*p =

3) Вычисление линий, связанных с треугольником; Высота на сторону a:
h_a = b*sin C = c* sin B.
Медиана на сторону a:

.

Биссектриса угла А:
l_A = (b*c*cos A / 2) / (b + c).
Радиус описанной окружности:
R = a / 2*sin A = b / 2*sin B = c / 2*sin C.
Радиус вписанной окружности:

 =

= p*tg A / 2*tg B / 2*tg C / 2 = 4*R*sin A / 2*sin B / 2*sin C / 2.

Сферическая тригонометрия

Основные свойства сферического треугольника (рис. 59)
Сумма углов A + B + C всегда больше 180°.
Разность (A + B + C) — p = s, выраженная в радианах, называется сферическим избытком.

Рис.59

Площадь сферического треугольника S = R2 *s, где R — радиус сферы; s — сферический избыток.

Формулы сферической тригонометрии
A, B и C - углы треугольника; a, b и c - стороны треугольника.

• sin a / sin A = sin b / sin B = sin c / sin C;
• cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos A;
• cos A = - cos B * cos C + sin B * sin C * cos a;
• sin a * cos b = cos a * sin b * cos C + sin a * cos B;
• sin a * ctg b = ctg B * sin C + cos a * cos C;
• sin A * cos B = cos b * sin C - cos c * sin B * cos A;
• sin A * ctg B = sin c * ctg b - cos c* cos A.

Для решения прямоугольного сферического треугольника (a и b — катеты, c — гипотенуза, C = 90°) пользуются следующим правилом: катеты сферического треугольника заменяют их дополнением до 90°; последовательно пять элементов треугольника A, C, B, 90° — a и 90 — b, не принимая во внимание прямой угол C, располагают по кругу (рис. 60).

Рис.60

1. Косинус каждого элемента равен произведению котангенсов двух прилежащих к нему элементов, например: A = ctg(90 - b)*ctg c
2. Косинус каждого элемента равен произведению синусов двух неприлежащих элементов, например:
cos(90 - a) = sin c*sin A.

Римские цифры

Кроме обычных, так называемых арабских цифр, для обозначения чисел используются римские цифры. Они применяются на циферблатах часов, для обозначения глав в книгах, томов сочинений, порядковых номеров съездов, конференций и т. д.
Знаки римской системы

• I — 1
• V — 5
• X — 10
• L — 50
• С — 100
• D — 500
• М — 1000

Все остальные числа составляются из этих знаков по следующим правилам:
1. Знак, стоящий слева от указанных выше знаков, уменьшает смежный с ним справа знак, больший по числовому значению, например:

• IV — 4
• XL — 40
• IX — 9
• VL — 45

2. Знак, стоящий справа от других знаков, увеличивает числовые значения их, например:

• VI — 6
• LV — 55
• XV — 15
• LХ — 60

3. При повторении знака необходимо значение его прибавить к стоящим слева знакам, сумма всех знаков дает указанное ими число, например:

• XX —20
• ССС —300
• XXX —30
• ММ —2000

4. Примеры составления некоторых чисел:

• 18 — XVIII
• 400 — СD
• 29 — XXIX
• 800 — DССС
• 80 — LХХХ
• 1949 — МСМХLIХ
• 99 — IС
• 1941 — МСМХLI

Физика и механика

Единицы измерений в механике и физике

Наименование величины	Единица		Соотношение между различными единицами
	наименование	сокращенное обозначение
Время	секунда	сек.
Длина	сантиметр	см
	метр	м
Скорость	1 сантиметр в секунду	см/сек
	1 метр в секунду	м/сек
Ускорение	1 сантиметр в сек2	см/сек2
	1 метр в сек2	м/сек2
Масса	грамм	г	1 г = 0,001 кг
	килограмм	кг	1 кг = 1000 г
	тонна	т	1 т = 1000 кг
Сила	стен	сн	1 сн = 108 дн = 102 кГ = 102*103 Г
	дина	дн	1 дн = 10-8 сн = 102*10-8 кГ = 102*10-5 Г
	килограмм (сила)	кГ	1 кГ = 103 Г = 981*10-5 сн = 981*103 дн
	грамм (сила)	Г	1 Г = 10-3 кГ = 981 дн
Работа и энергия	килоджоуль	кдж	1 кдж = 103 дж = 102 кГм
	джоуль	дж	1 дж = 107 э = 0,102 кГм
	эрг	э	1 э = 10-7 дж = 10-10 кдж = 102*10-10 кГм
	килограммо-метр	кГм	1 кГм = 9,81 дж = 0,00981 кдж = 981*105 э
			1 кГм = 1 / 427 ккал (термический эквивалент работы)
Мощность	киловатт (килоджоуль в секунду, стен-метр в секунду)	квт	1 квт = 1000 вт = 1010 э/сек = 102 кГм/сек
	ватт (джоуль в секунду)	вт	1 вт = 107 э/сек = 0,102 кГм/сек
	эрг в секунду	э/сек	1 э/сек = 10-10 квт = 10-7 вт = 102*10-10 кГм/сек
	килограммо-метр в секунду	кГм/сек	1 кГм/сек = 981*10-5 квт = 1 / 75 л.с. (HP)
	лошадиная сила	л.с. (HP)	1 л.с. (HP) = 0,736 квт
Количество теплоты	килоджоуль	кдж	1 кдж = 1000 дж
	джоуль	дж
	килокалория (большая колория)	ккал	1 ккал = 1000 кал = 4,188 кдж = 427 кГм (механический эквивалент тепла)
	калория (малая)	кал	1 кал = 4,188 дж
Электрическое сопротивление	ом	ом
Сила тока	ампер	а
Электрическое напряжение и электродвижущая сила	киловольт	кв	1 кв = 1000 в
	вольт	в
Электрическая мощность	киловатт	квт	1 квт = 1000 вт = 1010 э/сек = 102 кГм/сек
	ватт	вт	1 вт = 107 э/сек = 0,102 кГм/сек
Работа электрического тока	киловатт-час	квт-ч	1 квт-ч = 1000 вт-ч
	ватт-час	вт-ч	1 вт-ч = 3600 вт-с
	ватт-секунда (джоуль)	вт-с (дж)	1 вт-с = 1 дж = 0,102 кГм = 107 э
Количество электричества	кулон (ампер-секунда)	к
	ампер-час	а-ч	1 а-ч = 3600 к
Электрическая емкость	фарада	F
Самоиндукция	генри	гн

Движение

1. Равномерное движение
Движение называется равномерным, если в любые равные промежутки времени тело проходит одинаковые отрезки траектории.
Скорость равномерного движения равна отношению пройденного пути S к времени t:
v = S / t.
2. Равноускоренное движение
Равноускоренным называется движение, при котором "значение скорости все время увеличивается пропорционально времени,
v = v₀ + a*t;
S = v₀*t + a*t² / 2,
где v₀ — начальная скорость;
a — ускорение.

Основные законы динамики

1. Всякое тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока этому не воспрепятствуют внешние действующие на тело силы (закон инерции).
2. Ускорение, сообщаемое телу данной силой, прямо пропорционально величине этой силы и обратно пропорционально массе тела.
3. Всякое действие одного тела на другое равно по величине и прямо противоположно по направлению противодействию второго тела, приложенному к первому телу (закон равенства действия и противодействия).
Основное уравнение динамики
Сила (F) равна произведению массы (m) на ускорение (а):
F = m*a.
Работа
Сила F, передвигающая тело по некоторому пути S, производит работу; при этом, если направление силы совпадает с направлением движения, то
A =F*S,
если же направление силы с направлением движения составляет угол a, то
A = F*S*соs a.
Мощность
Мощность — способность двигателя произвести работу в единицу времени
W = A / t.
Удельный вес
Удельным весом (d) вещества называется вес этого вещества в объеме 1 куб. см.
Плотность
Плотностью называется масса вещества в объеме 1 см³.
Теплоемкость
Теплоемкостью данного тела называется количество теплоты, необходимое для нагревания этого тела на 1° C.
Единица силы тока
За единицу силы тока принят ампер — сила постоянного тока, который, проходя через водный раствор азотнокислого серебра, отлагает в одну секунду 1,118 мг чистого серебра.
Количество электричества (Q) — произведение силы тока I в амперах на время в секундах
Q = I*t.
Сила тока в цепи прямо пропорциональна напряжению V и обратно пропорциональна сопротивлению r
I = V / r.
Для полной сети, имеющей генератор с ЭДС, равной Е, сила тока равна
I = E / (r + r₁) = E / R,
где r₁ — сопротивление генератора;
r — сопротивление цепи.
Сопротивление провода (при t = const) прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения (S)
r = r*l / S,
где r — удельное сопротивление данного вещества в 1 м длины и 1 мм² поперечного сечения.
Сопротивление при различных соединениях
Если проводники соединены последовательно, то их общее сопротивление равно сумме отдельных сопротивлений
R = r₁ + r₂ + ... + r_n.
При параллельном соединении общее сопротивление выражается формулой:
1 / R = 1 / r₁ + 1 / r₂ + ... + 1 / r_n.
Работа электрического тока выражается формулой:
A = J²*r*V = J*t*V.
Мощность тока
W = A / t = J*V.